問題⑧(9月20日投稿)の解答と解説
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問題はこちらから 問題 今回の問題は、計算というよりも規則性を見つけることが大事になります。 累乗の意味を理解していれば、具体例を調べることで考えることはできますが、 数学Ⅱの「指数関数」や数学Bの「数列」を学習していることでより考えやすくなります。 以下解説です。 ※写真の中では累乗の指数を通常通り右上に書いていますが、本文の中では「２の10乗」のことを「 2^10 」のように表記します。 (1)いきなり「 2^123 」を考えるのは難しいので、指数(右上の数)が小さい場合で考えてみます。 2^10 までを計算すると、一の位の数は「 2 , 4 , 8 , 6 , …」を繰り返しているように見えます。 その理由としては、2の累乗は、指数が１増えるたびに前の数を2倍しています。 一の位は繰り上がりの数がないので、 2の2倍は4 → 4の2倍は8 → 8の2倍で一の位が6 → 6の2倍で一の位は2 → となり、2 → 4 → 8 → 6 → 2 → … と繰り返すのです。 このことから、2の累乗は、 指数が4の倍数なら 一の位は 6 指数が4でわって1あまる数なら 一の位は 2 指数が4でわって2あまる数なら 一の位は 4 指数が4でわって3あまる数なら 一の位は 8 になるということが分かります。 さて、2^123 について考えると、 123 ÷ 4 ＝ 30 あまり 3 なので、一の位の数は 8 と分かります。 (2)今度は十の位の数の変わり方について調べてみましょう。 2^12 までを計算してみると、十の位の数は「奇数、奇数、偶数、偶数、…」を繰り返しているように見えます。 理由は一の位の数が関係しています。一の位で出てくる数のうち、2，4は2倍しても繰り上がらない数、8，6は2倍すると繰り上がる数です。 実際に、すべての1けたの数を2倍してみると、分かることは次の二つです。 1．1けたの数を2倍したとき、4以下は繰り上がらず、5以上は繰り上がる。 2．繰り上がる数は1 したがって、2倍して繰り上がったときは十の位が奇数、繰り上がらないときは偶数になります。 つまり、前の累乗の一の位の数が2か4ならその次の十の位は奇数、8か6ならその次の十の位は偶数になるということです。 さて、2^499 の十の位の数が偶数か奇数かは 2^4...
