問題⑦(9月11日投稿)の解答と解説

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「放物線が x 軸から切り取る線分の長さ」とは、放物線が x 軸と交わる2点間の距離のことを表しています。

そのため、x 軸から切り取る線分の長さを考えるときは、基本的に x 軸と異なる2点で交わることが前提となります。そして、そのときの交点の x 座標をα、βとすると、

y ＝ a ( x - α ) ( x - β )

と表せます。

放物線の問題を考えるときには、未知の定数の値が変わることで、放物線がどのように動くのかを把握すること、そしてそれをもとに図をどれだけ簡単、かつ正確にかくことができるかが重要です。

放物線は、開き具合(上に凸か下に凸か)、軸(頂点の x 座標)、最小値または最大値(頂点の y 座標)の3つの情報が分かれば形を確定させることができますが、未知数があると、そのうちのいくつかの情報が分からなくなってしまいます。それを、未知数があることによる動き方をある程度把握しておくこと、あるいは図で補完することで放物線について考えていくのです。

例えば、下の放物線(ⅰ)では、頂点が原点にある(頂点が分かっている)ことが確定していますが、グラフの開き具合や上に凸か下に凸かが分かりません。

(ⅱ)では、放物線の開き具合と軸は分かっていますが、最小値が分からないため、上下に動く関数になります。

このような、未知数のある関数の動きに慣れておくことが、放物線問題を解決するポイントになります。

さて、問題を見てみましょう。

x 軸から切り取る線分の長さだけが分かっても、x 軸との交わり方が分かるだけで、放物線の形も、x 軸とどこで交わるのかも分かりません。

しかし、直線 y = 3 から切り取る線分の長さ(※補足)も分かっていると、放物線の幅が固定されるため、「放物線の形」が分かります。そして同時に、「頂点の y 座標」も固定されるはずです。

※補足　x 軸は直線なので、「直線から切り取る線分の長さ」は x 軸以外の直線にも同様に当てはめて考えることができます。

これにより、放物線は、形が決まっているが、左右に自由に動ける関数ということが分かります。

とすると、x 軸に平行な直線から切り取る線分の長さは決まった値になるはずなので、問題(1)の a の値も求めることができます。

さて、これを記述で解答するには何を未知数で置くのかが重要です。

ここでポイントとなるのが、x 軸から切り取る線分の長さは、グラフの軸との親和性が高いことです。

放物線のグラフは軸を中心に左右対称なので、x 軸との異なる2交点との距離はそれぞれ等しくなります。これは直線 y = 3 、y = a との2交点との距離も同様です。

そこで、軸を未知数 b とおいて、記述していきます。(1)の解答です。

※途中で出てくる c は、c ＞ 0 の定数とします。

(2)では、直線が x 軸と平行でなくなったため、左右の移動も制限し、形を確定させることができます。

ちなみに、図の x の増加量と y の増加量を求める方法は以下の通りです。

このことから、直線との交点について、以下のように表すことができます。

さて、ここからの解き方には工夫が必要です。二次の連立方程式になっているためです。しかし、工夫によって、二次方程式を解くことなく、求めることができます。以下、解答です。

今回の解説は以上となります。またよろしくお願いいたします。