問題⑧(9月20日投稿)の解答と解説

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今回の問題は、計算というよりも規則性を見つけることが大事になります。

累乗の意味を理解していれば、具体例を調べることで考えることはできますが、

数学Ⅱの「指数関数」や数学Bの「数列」を学習していることでより考えやすくなります。

以下解説です。

※写真の中では累乗の指数を通常通り右上に書いていますが、本文の中では「２の10乗」のことを「 2^10 」のように表記します。

(1)いきなり「 2^123 」を考えるのは難しいので、指数(右上の数)が小さい場合で考えてみます。

2^10 までを計算すると、一の位の数は「 2 , 4 , 8 , 6 , …」を繰り返しているように見えます。

その理由としては、2の累乗は、指数が１増えるたびに前の数を2倍しています。

一の位は繰り上がりの数がないので、

2の2倍は4 → 4の2倍は8 → 8の2倍で一の位が6 → 6の2倍で一の位は2 →

となり、2 → 4 → 8 → 6 → 2 → …

と繰り返すのです。

このことから、2の累乗は、

指数が4の倍数なら　　　　　  　一の位は 6

指数が4でわって1あまる数なら　一の位は 2

指数が4でわって2あまる数なら　一の位は 4

指数が4でわって3あまる数なら　一の位は 8

になるということが分かります。

さて、2^123 について考えると、

123 ÷ 4 ＝ 30 あまり 3

なので、一の位の数は 8 と分かります。

(2)今度は十の位の数の変わり方について調べてみましょう。

2^12 までを計算してみると、十の位の数は「奇数、奇数、偶数、偶数、…」を繰り返しているように見えます。

理由は一の位の数が関係しています。一の位で出てくる数のうち、2，4は2倍しても繰り上がらない数、8，6は2倍すると繰り上がる数です。

実際に、すべての1けたの数を2倍してみると、分かることは次の二つです。

1．1けたの数を2倍したとき、4以下は繰り上がらず、5以上は繰り上がる。

2．繰り上がる数は1

したがって、2倍して繰り上がったときは十の位が奇数、繰り上がらないときは偶数になります。

つまり、前の累乗の一の位の数が2か4ならその次の十の位は奇数、8か6ならその次の十の位は偶数になるということです。

さて、2^499 の十の位の数が偶数か奇数かは 2^498 の一の位次第です。

498 ÷ 4 ＝ 124 あまり 2

より、2^498 の一の位は 4

そのため、2^499 の十の位は偶数であり、

4 × 2 ＝ 8 より、2^499 の十の位の数は 8 です。

また、2^499 の一の位は 8 なので、2^500 の十の位は奇数になり、

8 × 2 + 1 ＝ 17 より、2^500 の十の位の数は 7 となります。

(3)百の位も十の位と同じように考えます。

まず、2^2024 の十の位の数が 1 なので、2^2025 の百の位の数は偶数と分かります。

2^2026 の百の位の数が 8 になるには、2^2025 の数が 4 か 9 である必要があるので、

そのうち、偶数である 4 が 2^2025 の百の位の数です。

次に、2^2024 の百の位の数を調べるために、2^2023 の十の位の数を調べます。

2^2025 の百の位が 4 なので、2^2024 の百の位は 2 か 7 です。　　　…①

2^2024 の十の位の数が 1 なので、2^2023 の十の位の数は繰り上がりをした上で 0 か 5 である必要があります。

2022 ÷ 4 ＝ 505 あまり 2 より、2^2022 の一の位は 4 となるので、　　　…②

2^2023 の十の位の数は 0 となります。

したがって 2^2024 の百の位は偶数になるので、①より 2^2024 の百の位の数は 2 になります。

最後に 2^2023 の百の位の数を求めます。

2^2024 の百の位が 2 なので、2^2023 の百の位は 1 か 6 です。

2^2023 の十の位が 0 なので、2^2022 の十の位は 0 か 5 です。

②より 2^2021 の一の位は 2 なので、2^2022 の十の位は 0 であり、2^2023 の百の位の数は 6 となります。

(1)　8

(2)　7

(3)　6

今回の解説は以上となります。またよろしくお願いいたします。