問題⑥(9月5日投稿)の解答

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最初に申し上げますと、今回の問題の答えは、あまりきれいな形にならないものになりました。二重根号(√の中に√が残ってしまう形)があるものも答えになってしまいます。

数値についてもう少し吟味するべきでしたが、そういった数値調整は昔から苦手にしていたこともあり、適切な値を見つけることができませんでした。申し訳ありません。答えについては「ふ～ん。」と思っていただき、考え方に注目していただければと思います。

それでは考え方です。

問題の連立方程式は、2乗の式と3乗の式で、加減法はもちろんできませんし、代入法も直接代入するのは難しいです。そこで注目したいのは、二つとも左辺が「対称式」ということです。

対称式とは、文字を自由に入れ替えても形が変わらないような文字式のことをいいます。

例えば xy + x + y は、x と y を入れ替えても yx + y + x = xy + x + y となり、元の式と形が変わらないので対称式です。

一方、xy + 2x + y は、x と y を入れ替えると yx + 2y + x となり、元の式と等しくないので対称式ではありません。

そして、中でも、x + y と xy は基本対称式と呼ばれ、すべての対称式は基本対称式のみを使って表すことができるという性質があります。

それは問題の2つの式も同様です(問題の2つの対称式の変換は入試でとても重要なので、受験生の皆さんはよく覚えておきましょう)。

さて、2つの対称式を基本対称式で表すと、計算を進めることができます。

ポイントは、t が1次式になったことで代入がしやすくなったということです。

さて、後は出てきた値について、それぞれ x と y の連立方程式を解けばいいのですが、今回は基本対称式が2次方程式の解になっているという、「解と係数の関係」を使って求めました。

これにより、実際に計算をする前に2次方程式の判別式を使うことで実数解をもつのか調べることができます。以下解答です。

今回の解説は以上となります。またよろしくお願いいたします。