問題⑤(8月8日投稿)の解答

間があいてしまいまして、申し訳ありません。解説していきたいと思います。

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a , b , c , d , e は１けたの自然数なので、１～９の整数の中のどれかです。

そう考えると候補が少ないような感じがしてきます。

さて、条件を上から一つずつ見ていきましょう。

①「どの２つを選んでも、その差は必ず偶数」とは、

a - b

a - c

などのひき算が全て偶数になるということです。

このとき、どうなるのでしょう。

例えば、

20 - 12 = 8

のように偶数同士のひき算のとき、答えは偶数になります。

また、

11 - 7 = 4

のように、奇数同士のひき算のときも答えは偶数になります。

これはたし算のときも同じで、偶数同士、奇数同士のたし算、ひき算の答えは必ず偶数になります。

逆に、

17 - 12 = 5

16 - 13 = 3

のように、偶数と奇数のたし算やひき算は答えが必ず奇数になります。

つまり、「どの２つを選んでも、その差は必ず偶数」とは、「５つの数は全て偶数か、全て奇数」ということになります。

ここで、１～９の中に偶数は4個(２，４，６，８)、奇数は5個(１，３，５，７，９)あるので、５つの数は全て奇数ということになります。

次に、②「 e からどの数を引いても、その差は必ず正の数になる」ですが、

6 - 4 = 2

のように大きい数から小さい数をひくといつも正の数になり、

4 - 6 = -2

のように小さい数から大きい数をひくといつも負の数になります。

ということは、5つの数の中で、 e が一番大きい数ということになり、

e = 9 が決まります。

この2つで候補がかなりしぼられました。残りは③と④で考えます。

③「 a + d = 10 」ですが、

残った候補の中で、足して10になる組み合わせは

3 と 7 しかありません。

7 は残った数の中で一番大きい数であり、d = 7 とすると④「 d < c 」に合う c がなくなってしまいます。

そのため、d = 3 , a = 7 となります。

最後に「 d < c 」から c = 5 , b = 1 となります。

答え　a = 7 , b = 1 , c = 5 , d = 3 , e = 9

今回の解説は以上となります。少し落ち着いてきたので、いろいろな数学の問題を週1程度で(ネタがある限り)投稿していければと思っています。よろしくお願いします。