日立市の算数・数学に強い志原塾

問題はこちら　 問題 今回は一見、すべての線分の長さが分かっていないので、どれを使って求めればいいのか分かりづらい問題になっています。 しかし、線分ABの長さは接線と半径が垂直に交わることに気づければすぐに求められますし、線分BCの長さも一つに決まりそうなので、長さを求める方法がありそうです。 となると、∠A、∠B、∠Cのどれか一つが分かれば余弦定理を使って求められそうです。 その方針で進めていきましょう。 まずは線分ABの長さを求めます。 次は線分BCの長さを求めます。これは補助線の引き方、三角形の見方に工夫が必要です。 思い出したいのは円に内接する四角形の長さの求め方。cosθと辺の長さの2つの未知数を求めるのに、余弦定理を2回使って連立方程式を作ります。これと同じように、もう分かっている長さ(半径)を使って、余弦定理を2回使い連立方程式が立てられないかと考えます。 ★さて、最後にcosBの値が分かれば余弦定理を使って求めることができますが、三角比の範囲ではcosBの値を直接求めることができそうにありません(別解)。 そこで、先ほど出た円に内接する四角形の問題にできないかを考えてみます。半径BOを延長させて直径BFにすると、AFの長さもCFの長さも求めることができ、円に内接する四角形にすることができます。以下解答です(計算の結果出てくる値が非常に大きくなります)。 最後の部分の計算は省略しましたが、以下に補足として載せておきます。 大きい数字の2次方程式の解き方は、素因数分解をすることで考えやすくなります。詳しいとき方はまた別の機会に。 (別解) 数学Ⅱの範囲の「三角関数」で出てくる加法定理を使うことで、cosBの値を求めることができます。これを別解として掲載しておきます。 (編集後記)編集中に、★の部分で∠C(または∠A)は正弦定理を使うことでsinC(sinA)の値を求めることができます。ここから、cosC(cosA)の値を求めることで、余弦定理を使って求めることができそうです。 今回の解説は以上です。次回もよろしくお願いいたします。

問題はこちら(目標は15分程度です) ※大問2の(2)の問題に誤りがありました。申し訳ありません。正しくはこちらです。 解答はこちらです。 解説です。 大問1 (1)①加法・減法(学年：1年) 同符号なので、答えは　-7　になります。確実にできるようにしておきましょう。 ②平方根の計算(学年：3年) ③単項式の乗法・除法(学年：2年) ④多項式の加法・減法(学年：2年) (2)連立方程式(学年：2年) 代入法の応用です。なお、別解で書いてはいませんが、①の3yを左辺に移項することで加減法として計算することもできます。 大問2 (1)自然数の問題(学年：1年～) 計算について考える問題です。すぐに想像ができない場合は、実際に何かをかけてみるのがおすすめです。 (2)2乗に比例する関数の変域(学年：3年) 2乗に比例する関数は1次関数と違って変域が両端計算とは限らないので気をつけましょう。 (3)確率(学年：2年) (4)方程式の文章題・展開(学年：3年)

 問題はこちら 解答です。 簡単な解説をしていきます。 大問1 (1)①減法 減法は後ろの符号を入れ替えることに注意します。 ②四則計算 計算の順序に気をつけましょう。 指数　↔　かっこの中　→　かけ算・わり算　→　たし算・ひき算 ③単項式の乗法・除法 符号・数字・文字をそれぞれ別々に考えると、計算しやすくなります。 ④多項式の加法・減法 分数の計算は丁寧に進めましょう。片方が分数でなくても、もう片方が分数の場合は分数の方にそろえます。 (2)連立方程式 それぞれの方程式が分数、小数になっている連立方程式です。どちらも両辺に同じ数をかけて係数を整数にしますが、それぞれ1にも同じ数をかけることを忘れないようにしましょう。 大問2 (1)関係を表す式（不等式） 速さの問題は、図に表して考えるようにします。 (2)比例と反比例のグラフ 図から関数の式で表すことは問題を解く上で必須なので、いろいろなグラフでできるようになっておきましょう。 (3)データの整理(中央値) 中央値になる人が何番目かを探すには、合計人数が偶数か奇数かによって変わります。 合計人数が奇数人なら、　＋1 してから半分 　　　　　偶数人なら、　半分とそれ＋1 の間 また、その番号がわかったら、その人がどこにいるかを探すのに累積度数が便利です。 中央値の求め方はよく確認しておきましょう。 (4)回転体、円すいの体積 一回転させてできる立体は、回転するときの形によっていろいろな立体になります。まずは円柱・円すい・球を確実におさえましょう。いろいろな立体になるとはいっても、円柱と円すいと球を組み合わせてできる形しかないので、うまくその3つに分解することがポイントです。

 問題はこちらから　 問題 さて、今回の問題は二次方程式の解と係数の関係を使って、対称式の値を求める問題として考えていましたが、思っていた以上に複雑な問題のようでした。そこまでの流れも一緒に解説し、考えていきたいと思います。 まずは最初の予定通り、解と係数の関係を使った解答の流れです。通常の方法で足したりかけたりできない形のときは、2乗することで計算を進めることができる場合が多いです。 ここで2つの値が解の候補として出てくるわけですが、それぞれが答えとして適切かをしっかり吟味する必要があります。 αとβが実数であれば、複素数になることはあってもマイナスになることはないですが、ルートの中が複素数の場合、どうなるかはわかりません。 そこで思い出されるのは、√i（2乗すると i になる値）を求める問題です。参考までに√i の値の求め方を載せておきます。 このように、プラスとマイナスの2通りが出てきます。これを元にすると、√複素数はどちらの値をとってもおかしくないということで、元の問題は両方の値をとりそうな感じがします。そこで、もとの二次方程式の判別式を計算しておきます。 しかし、他の√複素数も同じように2通りの解が出てくるのかはわかりません。そこで、解と係数の関係だけで解き進めるのは諦めて、先ほどの√i のように、2乗してα(とβ)になるような値を実際に求めてみたいと思います。 そうすると、予想通り、それぞれで2つずつの値が出てきました。そして値の取り方はそれぞれ独立のはずです(√α の値のとり方によって√β の値が決まるわけではない)。 したがって、問題の値は以下の4通りとなります。 ここでのポイントは、最初の「解と係数の関係」を使った解き方では、±i の値は出てこなかったところです。正直、はっきりとした理由はわかりませんが、√複素数はそれだけ慎重に取り扱う必要があるということでしょうか。 今回の解説は以上になります。またよろしくお願いいたします。

 今回の問題の修正版はこちら 大問2(4)で〔図1〕の図形の位置関係が実際とかけ離れていたので、修正いたします(解答に支障が出るズレではありません。)。また、大問2(1)は本来出す予定であった問題と異なる形になってしまったことを下の解説で付記しています(こちらは修正版でも変更していません)。 それでは解答です。 順番に解説していきます。 大問1 (1)①減法(学年：1年) 減法と符号の扱いについては間違いがないようしっかりと確かめましょう。 ②平方根の計算、展開(学年：3年) 平方根の計算と展開の公式を合わせた問題です。「2乗－2乗」の展開公式はとても重要なので必ず覚えておきましょう。 ③単項式の乗法・除法(学年：2年) 符号・数字・文字それぞれで割り算に気をつけて計算しましょう。 ④多項式の加法・減法(学年：2年) 分数は通分したときに「－」の扱いに特に気をつけるようにしましょう。間違えやすいポイントがいくつもありますので、しっかり確認しておきましょう。 (2)二次方程式(学年：3年) 一度展開してから改めて因数分解する必要がある問題です。 大問2 (1)式の値、平方根の計算、因数分解(学年：3年) 計算が複雑になる場合は因数分解などをして簡単な形にしてから計算することで楽に計算できるようになる場合があります。 (2)連立方程式の利用(学年：2年) 2桁の自然数の表し方は、普段の授業や学習の中でしっかり理解できていないととっさには出てこない形です。いろいろな数で確かめてみましょう。 (3)確率(学年：2年)、約数・素因数分解(学年：1年) 今回は数え間違いを防ぐために表で表して、それぞれの場合で140の約数になるかを調べていきます。 (4) あまり見かけないような、少し見方を変えた問題です。図から、グラフの平均変化率が－4になる場所を求める問題だと気づくことができれば考え方もわかってくるかもしれません。最終的に頂点Aの座標を求めることに注意しましょう。

 問題はこちらから　 問題 指数の 8 は 2の3乗 なので、2乗の展開を3回行うことで、8乗を展開することができます。 ただ、がんばって8乗を展開しても待っているのは 実部(8次式) ＝ 0 虚部(7次式) < 0 を解かなければならないという大変さがあります。そこで、通常の展開とは逆の手順で解を絞り、答えを導いていくことを目指します。 では解説です。 注目ポイントは「2乗の展開を3回行う」です。2乗を繰り返せば元の式は展開することができます。 具体的には ( a + i )^8　を1回2乗展開すると、何らかの値が実部 p 、また何らかの値が虚部 q になって、 ( p + qi )^4　と表すことができます。同様に、これを1回2乗展開すると、 ( r + si )^2　と表すことができます。 これを2乗展開した結果が負の実数になればよいということになります。 逆に考えれば、2乗した結果、負の実数になるような r と s の条件を求めることができれば、そこで求まった r と s の条件に合うような p と q の条件が求まり、その p と q の条件に合うような a の値を調べることができるということになります。 順に考えていきます。 まずは①の部分です。 なお、これは ( r + si )^2 が負の実数になるための条件であるだけであって、その条件が満たされるときに必ず成り立つかはまだ分かっていません(いわゆる「必要条件」のみ満たされている状態です)。これを確かめる必要があります。 一見当たり前のことしか言っていないように見えますが、これを一言言っておくことが必要です(※注意1) では、次に②の部分です。2乗した結果が先ほど求めた r と s の値になるように p と q の条件を絞っていきます。 このとき条件を満たすことも確かめます。(※注意1) 最後に③の部分です。これまでと同じように考えます。最後は条件を満たすかどうかもまとめて載せます。(※注意1) ※注意1…条件を満たすときに成り立つかどうかを確かめるときは、本来であれば最後に求めた値が条件を満たすことを確かめるだけで大丈夫です(つまり、①と②の段階で確かめる必要は本当はありません)。しかし、今回は出てくる答えが少し複雑な形になり、最後にまとめて条件を満たすことを確かめるのは大変なので、分...

 問題はこちらです。目標時間は15分程度(目標点数によって前後します) 今回より、入試や大問２【小問集合】ではあまり扱われないような問題やユニーク問題もその内容の対策として少しずつ盛り込んでいきたいと思います。 それでは解答です(もう少し下に載せます)。 解説は引き続き、画像メインで、本文では出題傾向を中心に述べていきます。 大問１ (1)①減法、累乗の計算(学年：1年) 計算の最初の問題では、ここ数年累乗の計算は出ていませんが、文字の計算など、使う場面は多いので、累乗のルールは押さえておきましょう。特に、マイナスが累乗の中に入るのかは間違えやすいポイントです。 ②平方根の計算(学年：3年) √の中の数が同じでないと足し算やひき算はできません。足せる組み合わせ、足せない関係に気を付けて計算しましょう。 ③単項式の乗法・除法(学年：2年) 引き続き、単項式の乗法・除法は、符号、数、文字をそれぞれ別々に計算します。 ④多項式の加法・減法(学年：2年) 多項式の計算のときの(　　)の外し方は気を付けて丁寧に行いましょう。 (2)因数分解(学年：3年) 因数分解で x^2 の係数が1でない場合、その数でくくることができないかをまず考えます。因数分解の仕方を学習すると、同じ数でくくることは忘れられがちなので気をつけましょう。 大問２ (1)等式の変形(学年：2年) 過去、等式の変形そのものが出題されたことはほぼありません。そのため、対策の優先順位としては低めですが、文字でわる計算はここ以外でほぼありませんので、余裕があれば確認しておくようにしましょう。 (2)度数分布表、中央値(学年：1年) 例年、【データの整理】の分野と【確率】の分野は大問2(小問集合)とその後の大問でそれぞれ一題ずつ出題されていて、ここ数年は交互に入れ替わっているという流れになっています。 　　　　　　データの整理　　　　確率 2023年度　　 小問集合　　　　  大問３ 2022年度　　　大問５　　　　 小問集合 2021年度　　 小問集合　　　　  大問５ 2020年度　　　大問５　　　　 小問集合 2019年度　　　大問７　　　　 小問集合 2018年度　　　大問７　　　　 小問集合 ですので、今年は小問集合で【確率】、その後の大問で【データの整理】が出題される確率が高い...