問題⑨(9月28日投稿)の解説

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指数の 8 は 2の3乗 なので、2乗の展開を3回行うことで、8乗を展開することができます。

ただ、がんばって8乗を展開しても待っているのは

実部(8次式) ＝ 0

虚部(7次式) < 0

を解かなければならないという大変さがあります。そこで、通常の展開とは逆の手順で解を絞り、答えを導いていくことを目指します。

では解説です。

注目ポイントは「2乗の展開を3回行う」です。2乗を繰り返せば元の式は展開することができます。

具体的には

( a + i )^8　を1回2乗展開すると、何らかの値が実部 p 、また何らかの値が虚部 q になって、

( p + qi )^4　と表すことができます。同様に、これを1回2乗展開すると、

( r + si )^2　と表すことができます。

これを2乗展開した結果が負の実数になればよいということになります。

逆に考えれば、2乗した結果、負の実数になるような r と s の条件を求めることができれば、そこで求まった r と s の条件に合うような p と q の条件が求まり、その p と q の条件に合うような a の値を調べることができるということになります。

順に考えていきます。

まずは①の部分です。

なお、これは ( r + si )^2 が負の実数になるための条件であるだけであって、その条件が満たされるときに必ず成り立つかはまだ分かっていません(いわゆる「必要条件」のみ満たされている状態です)。これを確かめる必要があります。

一見当たり前のことしか言っていないように見えますが、これを一言言っておくことが必要です(※注意1)

では、次に②の部分です。2乗した結果が先ほど求めた r と s の値になるように p と q の条件を絞っていきます。

このとき条件を満たすことも確かめます。(※注意1)

最後に③の部分です。これまでと同じように考えます。最後は条件を満たすかどうかもまとめて載せます。(※注意1)

※注意1…条件を満たすときに成り立つかどうかを確かめるときは、本来であれば最後に求めた値が条件を満たすことを確かめるだけで大丈夫です(つまり、①と②の段階で確かめる必要は本当はありません)。しかし、今回は出てくる答えが少し複雑な形になり、最後にまとめて条件を満たすことを確かめるのは大変なので、分割してそれぞれの過程で成り立つことを確かめました。

ただし、このように分割して十分条件を確かめるのは記述として大丈夫なのかについては、十分に確かめられたわけではありません(分割して確かめる必要のある問題を採点されたことがないため)。ですので、記述の仕方に問題がありましたらコメントお願いいたします。

なお、数学Ⅲの複素平面を学習している場合はもっと簡単に解くことができます。今回はこの解法については省略させていただきます(余裕がありましたら追記で別解として掲載するかもしれません)。

今回の解説は以上となります。またよろしくお願いいたします。