問題⑩(10月3日投稿)の解答

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さて、今回の問題は二次方程式の解と係数の関係を使って、対称式の値を求める問題として考えていましたが、思っていた以上に複雑な問題のようでした。そこまでの流れも一緒に解説し、考えていきたいと思います。

まずは最初の予定通り、解と係数の関係を使った解答の流れです。通常の方法で足したりかけたりできない形のときは、2乗することで計算を進めることができる場合が多いです。

ここで2つの値が解の候補として出てくるわけですが、それぞれが答えとして適切かをしっかり吟味する必要があります。

αとβが実数であれば、複素数になることはあってもマイナスになることはないですが、ルートの中が複素数の場合、どうなるかはわかりません。

そこで思い出されるのは、√i（2乗すると i になる値）を求める問題です。参考までに√i の値の求め方を載せておきます。

このように、プラスとマイナスの2通りが出てきます。これを元にすると、√複素数はどちらの値をとってもおかしくないということで、元の問題は両方の値をとりそうな感じがします。そこで、もとの二次方程式の判別式を計算しておきます。

しかし、他の√複素数も同じように2通りの解が出てくるのかはわかりません。そこで、解と係数の関係だけで解き進めるのは諦めて、先ほどの√i のように、2乗してα(とβ)になるような値を実際に求めてみたいと思います。

そうすると、予想通り、それぞれで2つずつの値が出てきました。そして値の取り方はそれぞれ独立のはずです(√α の値のとり方によって√β の値が決まるわけではない)。

したがって、問題の値は以下の4通りとなります。

ここでのポイントは、最初の「解と係数の関係」を使った解き方では、±i の値は出てこなかったところです。正直、はっきりとした理由はわかりませんが、√複素数はそれだけ慎重に取り扱う必要があるということでしょうか。

今回の解説は以上になります。またよろしくお願いいたします。