問題⑪(10月17日投稿)の解説

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今回は一見、すべての線分の長さが分かっていないので、どれを使って求めればいいのか分かりづらい問題になっています。

しかし、線分ABの長さは接線と半径が垂直に交わることに気づければすぐに求められますし、線分BCの長さも一つに決まりそうなので、長さを求める方法がありそうです。

となると、∠A、∠B、∠Cのどれか一つが分かれば余弦定理を使って求められそうです。

その方針で進めていきましょう。

まずは線分ABの長さを求めます。

次は線分BCの長さを求めます。これは補助線の引き方、三角形の見方に工夫が必要です。

思い出したいのは円に内接する四角形の長さの求め方。cosθと辺の長さの2つの未知数を求めるのに、余弦定理を2回使って連立方程式を作ります。これと同じように、もう分かっている長さ(半径)を使って、余弦定理を2回使い連立方程式が立てられないかと考えます。

★さて、最後にcosBの値が分かれば余弦定理を使って求めることができますが、三角比の範囲ではcosBの値を直接求めることができそうにありません(別解)。

そこで、先ほど出た円に内接する四角形の問題にできないかを考えてみます。半径BOを延長させて直径BFにすると、AFの長さもCFの長さも求めることができ、円に内接する四角形にすることができます。以下解答です(計算の結果出てくる値が非常に大きくなります)。

最後の部分の計算は省略しましたが、以下に補足として載せておきます。

大きい数字の2次方程式の解き方は、素因数分解をすることで考えやすくなります。詳しいとき方はまた別の機会に。

(別解)

数学Ⅱの範囲の「三角関数」で出てくる加法定理を使うことで、cosBの値を求めることができます。これを別解として掲載しておきます。

(編集後記)編集中に、★の部分で∠C(または∠A)は正弦定理を使うことでsinC(sinA)の値を求めることができます。ここから、cosC(cosA)の値を求めることで、余弦定理を使って求めることができそうです。

今回の解説は以上です。次回もよろしくお願いいたします。