問題④(7月27日投稿)の解答

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この問題について考えた当時、最大値・最小値を求める問題における、

その値をとるときの x の値の重要性に疑問をもっていました。

最大値・最小値をとる x の値について考えることは、必要と分かってはいましたが、

「結局そんな x が存在しないパターンってなかったしなぁ」とも思っていたのです。

そのため、最大値・最小値をとる x の値が、答えに直接影響する問題はないかと考えていました。

そのときに考えたのが、「補足」にも挙げたこの性質です。

簡単に言えば「最小＋最小＝最小」ということです。式の意味が分かれば当たり前に感じられるかもしれません。不安な場合は

f(x) = x^2 - 2x + 2

g(x) = 2 x^2 - 4x + 1

f(x) + g(x) = 3 x^2 - 6x + 3  ( x^2 は「x の2乗」という意味です)

などで試してみてください。

ちなみに、上の性質は「ひき算」や「わり算」にしたときはもちろん、「かけ算」にしたときもそのままでは成り立ちません。

さて、前置きが長くなりましたが解説です。

まずは、左側で、底に未知数があるのは扱いに困りますので、対数の性質を使って、

真数に x がくるようにします。底は、右側にそろえて3にしましょう。

右側は、現段階では展開した方がいいか迷いますが、ここでは展開しています。

ここで考えたいのは、これが、最小値を求める問題ということであり、その際に注目したいのが、未知数が分母に来ていて、それが、 x ＞ 1 より正の数ということです。

最小値問題の解法パターンは色々ありますが、そのうち、分数を含む式(しかも正の範囲)を考えるものは「相加相乗平均の不等式」を使う方法です。

したがって、今回の問題も「相加相乗平均の不等式」が使えるかもしれないという仮定で考えていきます。

しかし、左側と右側の式はどう頑張っても対数の性質を使ってくっつけることはできません。そのまま相加相乗平均の不等式を使っても文字が消えることはありません。そこで、例の「補足」の考え方を使って、2つの式を別々に考えて、それぞれで最小値を求めてみることにします。

さて、相加相乗平均の不等式を使うためには同じ種類の文字 log(3)x がないと最小値を求められる形にはなりません(今回は底の値を(　)で表しました)。そこで、式全体に log(3)x を加えることを考えます。その辻褄を合わせるために後で log(3)x を式全体から引きます。

すると、 log(3)( x^2 + 30x + 81 ) － log(3)x は底が一致しているので計算することができます。この段階で、右側は展開した方がいいことが確定します。

右側でも真数部分で分数を含む式になりました。ということはこちらでも「相加相乗平均の不等式」を使うことができそうです。

この考えを使った解答がこちらです。

今回の解説はここまでです。また次回よろしくおねがいします。